Halaman
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERSMATEMATIKA UMUM KELAS XPENYUSUNEntis Sutisna, S.Pd.SMA Negeri 4 Tangerang
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................4PETA KONSEP..............................................................................................................................................5PENDAHULUAN..........................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................8FUNGSI KOMPOSISI..................................................................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................17D.Latihan Soal..............................................................................................................18Pembahasan Latihan Soal.............................................................................................20E.PenilaianDiri............................................................................................................24KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................25FUNGSI INVERS........................................................................................................................................25A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................25B.Uraian Materi............................................................................................................25C.Rangkuman...............................................................................................................37D.Latihan Soal..............................................................................................................37Pembahasan Latihan Soal....................................................................................................................39E.PenilaianDiri............................................................................................................42EVALUASI....................................................................................................................................................43Kunci Jawaban Evaluasi........................................................................................................................46DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................52
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMDaerahAsal/Domain :Himpunan tak kosong dimana sebuahrelasi didefinisikan.Daerahkawan/kodomain :Himpunantidakkosongdimanaanggota domain memiliki pasangan sesuai dengan fungsi yang didefinisikan.Daerahhasil/range : Suatuhimpunan bagian dari daerahkawanFungsiinvers :Fungsi kebalikan dari suatu fungsi. Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A kehimpunanB, f--1disebutfungsiinversdari f jikadapatditentukansebuahfungsi f--1dari himpunan B ke himpunan A sedemikian sehingga f--1(f(a)) = a dan f--1(f(b)) =b.Fungsikomposisi :Sebuah fungsi hasil operasi komposisidua buah fungsi atau lebih. Misal fungsi f dan g, fungsi komposisi f dan g (ditulis: gof)ditentukan dengan (gof )(x) =g(f(x))Inversfungsi :Suaturelasi dari himpunan B ke himpunan A.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEP
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas: XAlokasi Waktu: 16 JPJudul Modul: Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers B. Kompetensi Dasar3. 6 Menjelaskan operasi komposisi pada fungsidan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya.4.6 Menyelesaikanmasalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi invers suatu fungsi.C. Deskripsi Singkat MateriSalamjumpa melalui pembelajaran matematika dengan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahami materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers di kelas X. Melalui modul ini Kalian diajak untuk memahami konsepKomposisi fungsi dan invers suatu fungsi dan menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Banyak sekali penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers dalam kehidupan sehari-haridiantaranya adalah:1). Proses pembuatan buku diproses melalui 2 tahap yaitu tahap editorial dilanjutkandengan tahap produksi. Pada tahap editorial, naskah diedit dan dilayout sehinggamenjadi file yang siap dicetak. Kemudian, file diolah pada tahap produksi untuk mencetaknya menjadi sebuah buku. Proses pembuatan buku ini menerapkan algoritmafungsi komposisi.2). Untuk mendaur ulang logam, awalnya pecahan logam campuran dihancurkan menjadiserpihan kecil. Drum magnetic pada mesin penghancur menyisihkan logam magneticyang memuat unsure besi. Lalu sisa pecahan logam dikeruk dan dipisahkan, sedangkanserpihan besi dilebur menjadi baja baru. Proses pendaur ulang logam tersebutmenggunakan fungsi komposisi.3). Sebuah lempeng emas yang dapat dibentuk menjadi berbagai perhiasan jugamenerapkan fungsi komposisi.4). Di bidang ilmu yang lain fungsi komposisi dan inversjuga di terapkan sepertidi bidang ekonomi digunakan untuk menghitung dan memperkirakan sesuatuseperti fungsi permintaan dan penawaran, di bidang kimia digunakan untuk menentukan waktu peluruhan unsur, di bidang geografi dan sosiologi digunakan untuk optimasi dalam industridankepadatan pendudukalam.Modulini terdiri atas 2 bagian proses. Kalian bisa mempelajari modul ini dengan tahapan berikut:Pembelajaran1 akan membahas tentang : Fungsi KomposisiPembelajaran2 akan membahas tentang : Fungsi Invers.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7D. Petunjuk Penggunaan ModulSupayaKalian berhasil mencapai kompetensi dalam mempelajari modul ini maka ikuti petunjuk-petunjuk berikut:a.Petunjuk Umum:1)Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan peta kedudukan modul ini akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yanglain.2)Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materiberikutnya.3)Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihanyang ada. Jika dalam mengerjakan soal Kalian menemuikesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.4)Kerjakan soal evaluasi dengan cermat. Jika Kalian menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.5)Jika Kalian mempunyai kesulitan yang tidak dapat Kalian pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Kalian juga akan mendapat pengetahuantambahan.b.Petunjuk Khusus1)Dalamkegiatan Pembelajaran Kalian akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.2)Perhatikan gambar gambar dan uraian dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.serta mampu menerapkan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut. 3)Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Kerjakanlah soal uji kompetensi dengan cermat agar Kalian bisa lebih pahamdan terampil.E. Materi PembelajaranModulini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Fungsi KomposisiKedua: Fungsi Invers
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1FUNGSI KOMPOSISIA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan peserta didik dapat:1.Menjelaskan operasi komposisi fungsi2.Mengidentifikasi sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi3.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasikomposisiB.Uraian MateriSetelah Kalian mempelajari konsep Relasi dan Fungsi pada modul sebelumnya, pembahasan akan kita kembangkan dengan mempelajari Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Tujuan dari mempelajari materi pembelajaranini adalah untuk menggali materi-materi tentang konsep komposisi dan invers kemudian operasi-operasi pada fungsi komposisi dan invers beserta sifat-sifatnya.Komposisi atau operasi fungsi secara umum dilakukan untuk menghasilkan nilai tertentu setelah melalui tahapan/prosedur operasi tertentu. Hal ini banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalkan tata cara mandi tahapan adalah melepas baju baru dilanjutkan dengan mandi, jika dibalik akan berbeda hasilnya. Begitu juga dengan benda-bendadi sekitar kita banyak yang pembuatannya tidak sekaligus jadi tetapi pengerjaannya bisa melalui beberapa tahap. Misalnya meja dan kursi pada gambar berikut agar siap dipakai dapat dikerjakan melalui beberapa tahap yaitu tahap pengerjaan pembuatan dan tahap finishing.Gambar 1.1 Meja Kursi Ukir Jepara.Sumber: http://keren2704.blogspot.com/2017/03/seni-kerajinan-kursi-kayu-ukir.html
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Untuk tahap pembuatanpun melalui beberapa tahap, mulai dari kayu gelodongan (Log), kayu papan, meja –kursi kasar baru finishing.Gambar 1.2. Proses Log jadi Furniture.Sumber: www.tentangkayu.comUntuk membuat mebel berupa meja dan kursi, seorang pengusaha mebel harus mengetahui berapa biaya pembuatan meja dan kursi sampai jadi sehingga biaya tidak berlebih. Pengusaha harus merencanakan dan menghitung satu persatu yaitu biaya pada tahap pengerjaan pembuatan dan biaya pada tahap finishing. Di dalam matematika, biaya dari setiap tahapan dapat dinyatakan dalam suatu fungsi biaya sehingga biaya totalnya merupakan fungsi komposisi dari setiap tahapan.Sebagai contoh berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 20 set meja kursi dengan kualitas yang bagus dari seorang tukang kayuyang dapat menghasilkan meja dan kursi yang bagus melalui dua tahap, yaitu tahap pembuatan dan tahap finishing. Apabila biaya yang diperlukan pada tahap pembuatan adalah Rp750.000,00 per set, dan biaya pada tahap finishing adalah Rp150.000,00 per set. Apabila banyaknya meja dan kursi yang dihasilkan adalah x set dan biaya yang diperlukan pada tahap pembuatan adalah dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 750 000 𝑥+ 15000, sedangkan biaya pada tahap finishing dengan persamaan 𝑔(𝑥) = 15000𝑥+ 10000. Dengan menggunakan operasi fungsi komposisi maka biaya total pembuatan 20 set meja-kursi dapat dihitung.Untuk lebih memahami masalah Fugsi Komposisi, coba Kalian perhatikan permasalahan berikut:Suatu penggilingan padi dapat memproduksi beras super melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin-1 yang menghasilkan beras setengah jadi berupa pelepasan kulit padi. Tahap kedua dengan menggunakan mesin-2 yang menghasilkan beras super. Dalam produksinya, mesin-1 menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi (𝑥) = 𝑥-0,10 dan mesin-2 mengikuti fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥-1, dengan 𝑥merupakan banyak bahan dasar padi dalam satuan kg. Jika bahan dasar padi yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 1 ton, berapakah beras super yang dihasilkan dalam ton?
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Tahap IxTahap IIf(x)Hasil Produksig(f(x))Gambar 1.3 : Mesin penggiling padiSumber : https://images.app.goo.gl/TWJ7HYeZR3ssXQvt6https://images.app.goo.gl/wQsMgmmyAR5qdLLu5Proses di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut:Gambar 1.4 :Tahapan produksi beras.Dari gambar di atas, terlihat bahwa tahap produksi beras terdiri atas duatahap yang hasil produksi setiap tahapnya dapat dihitung sebagai berikut.Hasil produksi tahap IRumus fungsi pada produksi tahap I adalah (𝑥) = 𝑥-0,10.Untuk 𝑥= 1000, diperoleh:𝑓(𝑥) = 𝑥-0,10= 1000 -0,10= 999,90Hasil produksi tahap I adalah 999,90 kg beras setengah jadi.Hasil produksi tahap IIRumus fungsi pada produksi tahap II adalah (𝑥) = 𝑥-1.Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II,maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehinggadiperoleh:𝑔(𝑥) = 𝑥-1= 999,90 -1= 998,90Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 998,90 kg beras super. Hasil produksi yang dihasilkan penggilingan padi tersebut jika bahan dasar padinya sebanyak 1 ton adalah 0,9989 ton beras super.f(x)=x-0,10g(x)=x-1Mesin IMesin II
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11fggofAxf(x)g(f(x))BCMasalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda sebagai berikut.Diketahui fungsi-fungsi produksi berikut.𝑓(𝑥)= 𝑥-0,10.....................................................(1)𝑔(𝑥) = 𝑥–1 ......................................................(2)Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh fungsig(f(x))= (f(x)) –1 = (x–0,10) –1 = x–1,1.Dengan demikian, diperoleh fungsi g(f(x))= x–1,1. (3).Jika disubtitusikan nilai x= 1000 pada persamaan 3, didapat:g(f(1000))= 1000 –1,1 = 998,90.Terlihatbahwa hasil produksi sebesar 998,90 kg. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas.Nilai g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi f dang dalam x yang dilambangkan dengan gf. Karena itu nilai gf di x ditentukandengan (gof)(x) = g(f(x)).Masalahdi atas merupakan contoh permasalahan komposisi fungsi. Bagaimana sekarang sudah dipahami yang dimaksud dengan komposisi fungsi?Ayo kita kaji lebih dalam lagi.Misalkan fungsifmemetakan himpunan A ke dalam himpunan Bditulis 𝑓: 𝐴→𝐵, dan fungsi gmemetakan himpunan B ke dalam Cditulis 𝑔: 𝐵→𝐶, sebagaimana ilustrasi di bawah ini:Gambar 1.5 :Komposisi FungsiUntuk 𝑎𝐴maka petanya (𝑎) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi 𝑔, oleh sebab itu pasti diperoleh peta dari (𝑎) di bawah pemetaan 𝑔yaitu (𝑓(𝑎)). Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen 𝑎𝐴dengan tepat satu elemen ((𝑎))𝐶. Fungsi baru inilah yang disebut fungsi komposisi dari 𝑓dan 𝑔, yang dinyatakan dengan notasi 𝑔𝑓(dibaca “𝑔bundaran 𝑓”)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12gofABCfgaf(a)g(f(a))Gambar 1.6 :Pemetaan 𝑓: 𝐴→𝐵, dan 𝑔: 𝐵→𝐶Secara singkat, jika 𝑓: 𝐴→𝐵, dan 𝑔: 𝐵→𝐶maka kita definisikan suatu fungsi komposisi 𝑔𝑓: 𝐴→𝐶sedemikian hingga (𝑔𝑓)(𝑎) = 𝑔(𝑓(𝑎)). Perhatikan bahwa fungsi komposisi 𝑔𝑓adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan 𝑓dahulu, baru kemudian mengerjakan 𝑔.Denganmemperhatikan definisi dari fungsi komposisi di atasdapat diperoleh fungsi komposisi 𝑔𝑓dan fgapabila:Komposisi fungsi gf: Jika fungsi fdan gmemenuhi RfDgKomposisi fungsi fg: Jika fungsi fdan gmemenuhi RgDfContoh 1:Diketahui fungsi 𝑓∶𝐴→𝐵dan 𝑔∶𝐵→𝐶dinyatakan dalam pasangan terurut :f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f)c) (f o g)(1)d) (g o f)(4)Penyelesaian:𝑓∶𝐴→𝐵dan 𝑔∶𝐵→𝐶Perhatikandiagram panah berikut:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13a)(fo g) pemetaan oleh gdilanjutkan pemetaan oleh f.Dari diagram di atas g(1) = 2 dan f(g(1)) =f(2) = 4g(2) = 0 dan f(g(2))=f(0) = 1g(5) = 3 dan f(g(5))=f(3) = -1sehingga (fog) = {(2,1), (1,4), (5,-1)}b)(go f) pemetaan oleh f dilanjutkan pemetaan oleh g.F(0) =1 dan g(f(0)) = g(1) = 2F(4) = 5 dan g(f(4)) = g(5) = 3Sehingga (gof) = {(0,2), (4,3)}c)(f o g)(1) = 4d)d) (g o f)(4) = 3Contoh 2:Diketahui: f : R →R ; f(x) = 2x² +1, g : R →R ; g(x) = x + 3 Tentukan: a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1)Penyelesaian:a)Pada (fog) x dipetakan lebih dulu oleh g(x) kemudian g(x) dipetakan oleh f(x).(f o g)(x) = f ( g ( x ) ) = 2 ( g ( x ) )2+ 1 =f ( x + 3 ) = 2( x + 3 ) ² + 1= 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19b)Pada (g o f) x dipetakan lebih dulu oleh f(x) kemudian f(x) dipetakan oleh g(x) (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3= 2x² + 4c)(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4)= 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33d)(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3)= 3 + 3= 6
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Contoh 3:Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2dan h = g o f : A → C.Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!Penyelesaian:h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 = 8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.Contoh 4:Fungsi 𝑓: 𝑅→𝑅, 𝑔∶𝑅→𝑅dan ℎ: 𝑅→𝑅yang didefinisikan oleh rumusf(𝑥) = 𝑥+ 2, g(𝑥) = 3𝑥2dan ℎ(𝑥) = 2𝑥-3Tentukan : a)(𝑔𝑓)(1) dan (𝑓𝑔ℎ)(1)b)rumus untuk (𝑔𝑓), (𝑓𝑔) dan (𝑓𝑔ℎ)Penyelesaian:a)(𝑔𝑓)(1)=g(f(1)f(1) = 1 + 2 = 3(𝑔𝑓)(1)=g(f(1))= 3.32= 3.9 = 27Untuk (𝑓𝑔ℎ)(1) pemetaan pertama oleh h(x) = 2x + 3, dilanjutkan oleh g(x) =x2sehingga g(h(x).Untuk selanjutnya g(h(x)dipetakan oleh f(x) sehingga f(g(h(x))).h(1) = 2.(1) –3 = -1g(h(1))= (h(1))2= (-1)2= 1(fogoh)(x)= (f(g(h(1)))= 2.(g(h(1))+ 3 = 2.(1) + 3 = 5b)(𝑔𝑓): 𝑥→(𝑔𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥+ 2) = 3(𝑥+ 2)2 = 3𝑥2+ 12𝑥+12sehingga (𝑔𝑓): 𝑥→3𝑥2+ 12𝑥+ 12.(𝑓𝑔): 𝑥→(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥2) = 3𝑥2+ 2sehingga (𝑓𝑔): 𝑥→3𝑥2+ 2.Catatan: Dari jawab di atas didapat fungsi 𝑔𝑓dan 𝑓𝑔tidak sama, sehingga dapat ditarikkesimpulan bahwa komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.(𝑓𝑔ℎ): 𝑥→(𝑓𝑔ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥)))= 𝑓(𝑔(2𝑥-3))= 𝑓(3(2𝑥–3)2= 𝑓(12𝑥2–36𝑥+ 27)= (12𝑥2–36𝑥+ 27) + 2 = 12𝑥2–36𝑥+ 29.sehingga (𝑓𝑔ℎ): 𝑥→12𝑥2–36𝑥+ 29.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15Perhatikankembali Contoh 1 s.d 4 di atas. Contoh 1 s.d 4 tersebut diberikan untuk menentukan fungsi komposisi jika fungsi-fungsi yang lain telah diketahui. Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan suatu fungsi yang lain.Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi KomposisiContoh5:Diketahuifungsi komposisi (f o g)(x) = 3x –2 dan fungsi f(x) = 2x + 1. Tentukan nilai dari g(x)!Penyelesaian:(f o g)(x) = 3x –2 dan f(x) = 2x + 1(fog)(x) = f(g(x)) = 3x –2→f(g(x)) = 2.g(x) + 1f (g(x)) = f(g(x))2.g(x) + 1 = 3x –22.g(x) = 3x –3g(x) = 3𝑥−32Contoh6:Diketahuifungsi komposisi (f o g)(x) = 6x + 3 dan fungsi g(x) = 2x -3. Tentukan nilai dari f(x)!Penyelesaian:(f o g)(x) = 6x + 3, misalkan, p = 2x -3f(g(x)) = 6x + 3 p + 3 = 2xf(2x –3) = 6x + 3 𝑝+32= xf(p) = 6.(𝑝+32) + 3f(p) = 3(p + 3) + 3f(p) = 3p + 12Jadi, f(x) = 3x + 12Caralain:(f o g)(x) = 6x + 3 dan g(x) = 2x -3 f(g(x)) = 6x + 3f(2x –3) = 6x + 3 = 3(2x –3) + 12f(x) = 3x + 12 Ruas kanan dinyatakan dalam 2x-3 namun nilainya tetap 6x + 3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16Penggunaan komposisi fungsi dalam kehidupan sehari-hari.Contoh 7:PT MAKMUR BERSAMA sebuah perusahaan yang sangat memperhatikan karyawannya. Pada tahun 2020 perusahaan mempunyai mempunyai kebijakan dalam memberikan kesejahteraan kepada karyawannya, yaitu setiap bulan seorang karyawan akan menerima 3 buah tunjangan yang terdiri dari tunjangan keluarga, tunjangan kesehatan dan tunjangan transportasi selain gaji pokok. Ketentuan tentang tunjangan tersebut adalah sebagai berikut:•Tunjangan Keluarga = 1/3 Gaji Pokok + Bonus Tambahan•Tunjangan Kesehatan = ½ (Tunjangan Keluarga+ Bonus Tambahan)•Tunjangan Transportasi = ¼ Tunjangan KesehatanTabel Bonus tambahanditampilkan seperti pada tabel di bawah ini:GolMasa Kerja dalam tahun (M)M ≤ 55<M≤ 10 10<M≤15 15<M≤20 20<M≤25 25<M≤30M ≥ 30 I A50.000150.000250.000350.000450.000550.000650.000I B150.000250.000350.000450.000550.000650.000750.000II A250.000350.000450.000550.000650.000750.000850.000II B350.000450.000550.000650.000750.000850.000950.000III A450.000550.000650.000750.000850.000950.0001.050.000III B550.000650.000750.000850.000950.0001.050.0001.150.000IV A650.000750.000850.000950.0001.050.0001.150.0001.350.000IV B750.000850.000950.0001.050.0001.150.0001.350.0001.450.000V850.000950.0001.050.0001.150.0001.350.0001.450.0001.550.000Jaka adalah seorang karyawan Golongan III B dan telah bekerja selama 27 tahun dengan gaji pokok Rp 12.000.000, Berapakah tunjangan transportasiyang akan diperoleh Jaka perbulannya?Penyelesaian:Misalnya :Tunjangan keluarga = KTunjangan Kesehatan = STunjangan Transportasi = TG = Gaji PokokMaka:K = 13𝐺+𝐵𝑜𝑛𝑢𝑠𝑇𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛S = ½ (K + Bonus Tambahan)T = ¼ S ; sesuaiGolongan dan masa kerja Jaka (gol III B dan masa kerja 27 tahun) jika dicocokan dengan tabel bonus tambahan diperoleh: K = 13𝐺+1.050.000S = ½ (K + 1.050.000)T = ¼ ST= ¼ ( ½ (K +1.050.000)) = 18𝐾+131.250T = 18(13𝐺+1.050.000)+131.250
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17T = 124𝐺+131.250+131.250T = 124𝐺+262.500T = 124(12.000.000)+262.500T = 762.500Jadi Tunjangan Transportasi Jaka per bulan = Rp 762.500,-Sifat –Sifat Komposisi FungsiBerikut ini sifat –sifat yang berlaku pada fungsi komposisi : 1.Secara umum sifat komutatif tidak berlakupada fungsi komposisi, yaitu (fg)(x) (gf)(x)2.Untuk komposisi tiga fungsi atau lebih, berlaku sifat asosiatif. Jika f, g, dan htiga buah fungsi, maka berlaku : (f(g h))(x) = ((fg)h)(x).3.Terdapat fungsi identitas terhadap operasi komposisi fungsi, yakni I(x) = x, sehingga berlaku : (fI)(x) = (If)(x) = f(x)Contoh 8:Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 –x, dan h(x) = x2+ 2, I(x) = x( f o g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( 3-x ) = 2 ( 3-x ) + 1 = 6 –2 x + 1 = 7 –2x(g o f)(x)= g(f(x)) = g(2x+1) = 3 –(2x+1) = 3 –2x –1 = 2 –2x(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2+ 2) = 3 –(x2+ 2) = 1 -x2Dari hasil di atas tampak bahwa ( f o g ) ( x )≠ (g o f)(x)( ( f o g ) o h ) ( x ) = ( f o g ) ( h ( x ) ) = ( f o g ) (x2+ 2) = 7 –2(x2+ 2) = 3 -2x2( f o ( g o h ) ) ( x ) = f ( ( g o h ) ( x ) ) = f (1 -x2) = 2 (1 -x2)+ 1 = 2 –2x2+ 1 = 3 –2 x2Dari hasil di atas tampak bahwa ( ( f o g ) o h ) ( x ) = ( f o ( g o h ) ) ( x )( f o I ) ( x ) = f ( I ( x ) ) = f ( x ) = 2 x + 1( I o f ) ( x ) = I ( f ( x ) ) = I ( 2 x + 1 ) = 2 x + 1Dari hasil di atas tampakbahwa ( f o I ) ( x ) = ( I o f ) ( x ) = f ( x )C.Rangkuman1.Komposisi fungsi f dan g didefinisikan (fog)(x) = f(g(x)) dan (gof)(x) = g(f(x))2.Komposisifungsi gf: Jika fungsi fdan gmemenuhi RfDgKomposisi fungsi fg: Jika fungsi fdan gmemenuhi RgDf3.Sifat-sifat komposisi fungsia. Tidak komutatifb. Memiliki sifat asosiatif (fog)o(h) = fo(goh)c. Memiliki fungsi identitas I(x) = x sehingga foI = Iof = f
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18D.Latihan Soal Untuk meningkatkan pemahaman, coba Kalian kerjakan Latihan soal berikut kemudiancocokkan jawaban Kalian dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Jangan melihat kunci dulu sebelum Kalian mengerjakan.I.Pilihan Ganda.1.Diketahui ()542−+=xxxfdan ()12−=xxg. Hasil fungsi komposisi ()()xfgoadalah ....A. 11822−+xxC. 9822−+xxE. 9422−+xxB. 6822−+xxD. 6422−+xx2.Fungsi f: R→Rdan g: R→R, dirumuskan dengan ()222−=xxfdan ()221+=xxg, maka ()()....=xfogA. 12+xC. 62212++xxE. 68212++xxB. 6212+xD. 64212++xx3.Fungsi RRf→:dan RRg→:ditentukan oleh ()12−=xxfdan ()25xxxg−=. Nilaiuntuk ()()1−fogadalah ....A. –24 B. –13 C. –9 D. –6 E. –44.Ditentukan ))(())((xgfxfg=. Jika f(x) = 2x+ pdan g(x) = 3x + 120, maka nilaip= ....A. 30B. 60 C. 90D. 120 E. 1505.Fungsi fdan gditentukan oleh ()42−=xxfdan ()321+=xxg. Daerah asal (daerah definisi) fadalah RxxxDf=,62dan RRg→:. Daerah hasil dari ()()xgofadalah....A. },41RyxyC. },73RyxyE. },171Ryxy−B. },64RyxyD. },61Ryxy−6.Jika ()13+=xxfdan ()()4962++=xxxfog, maka ()....=xgA. 1322−−xxC. 132++xxE. 122++xxB. 1322++xxD. 1322+−xx
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN197.Fungsi RRf→:, RRg→:, dan RRh→:adalah fungsi-fungsi yang ditentukan oleh ()xxf+=2, ()12−=xxg, dan ()xxh2=. Maka bentuk yang paling sederhana ()()....=xhogofA. 342++xxC. 6822++−xxE. 6822++xxB. 6822+−xxD. 6822−+−xx8.Diketahui fdan gyang dirumuskan oleh ()6432+−=xxxfdan ()12−=xxg. Jika nilai()()101o=xgf, maka nilai xyang memenuhi adalah ....A.323dan −2 C. 113dan 2 E. 113−dan −2 B.323−dan 2 D. 323−dan −29.Diketahui fungsi fdan gyang dirumuskan oleh ()42−=xxfdan ()()322442+−=xxxgof. Rumusfungsi gadalah ()....=xgA. x2–4x+ 8C. x2+ 4x+ 8 E. x2–4xB. x2–4x–8 D. x2+ 4x10.Jika ()3+=xxfdan ()()3422−+=xxxgof, maka ()()....1=fogA. 6B. 3C. 3D. 1 E. 0II.Uraian1.Diketahui f : R →R, g : R → R, dan h : R → R ditentukan oleh rumusf (x) = 2x + 4, g (x) = 3x, dan h (x) = x2+ 1. Tentukan:a. ((fog)oh) (x);b. (fo (goh)) (x)2.Dari fungsi f dan gdiketahui ()1−=xxgdan ()()xxxfog−=24. Jika ()5=af, maka tentukan nilai a!3.Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu (x) memproduksi kertas melaluidua tahap. Tahap pertama menggunakan mesinI menghasilkan bahan kertassetengah jadi (m) dengan mengikuti fungsi m= f(x) = x2–3x-2. Tahapkedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi g(m) =4m+ 2 dengan xdan mdalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersediauntuk suatu produksi sebesar 4 ton, tentukan banyak kertas yang dihasilkan!4.Sebuah perusahaan menggunakan dua buah mesin untuk mengubah bahan mentah menjadi bahan jadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah dari bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Mesin I dianalogikan dengan fungsi f(x) = 2x –3 dan mesin II dianalogikan dengan fungsi g(x) = x2 -x
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20a)Apalagi bahan mentah yang digunakan sebanyak x, tentukan persamaan hasil bahan jadi.b)Apabila bahan mentah yangdigunakan sebanyak 100 kg, berapa banyak hasilproduksi?Pembahasan Latihan Soal NOPEMBAHASANKunci1.()()xfgo()()xfg=()542−+=xxg()15422−−+=xx110822−−+=xx11822−+=xxA2.()()()()xgfxfog=+=221xf222122−+=x284212−++=xx64212++=xxC3 ()()()()11−=−gffog()()()2115−−−=f()6−=f()13162−=−−=B4g(f(x)) = f (g(x))g(2x+ p) = f (3x+ 120)3 (2x+ p) + 120 = 2 (3x+ 120) + p6x+ 3p+ 120 = 6x + 240 + p2p = 120p= 60Jadi, nilai padalah 60. B5()()()()xfgxgof=()42−=xg()34221+−=x1+=x2=x→()()3122=+=gof6=x→()()7166=+=gofJadi, daerah hasil dari ()()xgofadalah },73RyxyC6()()4962++=xxxfog()()4962++=xxxgf()496132++=+xxxgC
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21()1322++=xxxg7()()()()()xfghxhogof=()()xgh+=2()()122−+=xh()342++=xxh()3422++=xx6822++=xxE8()()101o=xgf()()101=xgf()10112=−xf()()10161241232=+−−−xx101648312122=++−+−xxx08820122=−−xx022532=−−xx()()02113=+−xx323atau −2Jadi, nilai xyang memenuhi adalah 323dan −2. A9.(go f)(x) = 4x2–24x+ 32g(2x–4) = 4x2 –24x+ 32 = (2x–4)2–8x+ 16 = (2x–4)2–4(2x–4)g(x) = x2–4x Alternatif 2:(g o f)(x) = 4x2–24x+ 32g(2x–4) = 4x2–24x + 32Misalnya 2x–4 = w, maka )4(21+=wx, sehingga 32)4(2124)4(214)(2++−+=wwwg= w2+ 8w+ 16 –12w–48 + 32= w2–4wg(x) = x2–4xJadi, rumus fungsi gadalah g(x) = x2–4xE10()()3422−+=xxxgof()()3422−+=xxxfg()34232−+=+xxxg()()()334322−−+−=xxxg()3124181222−−++−=xxxxgE
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22()3822+−=xxxg()()()()xgfxgof=()8442+−=xxf6822+−=xx()()06181212=+−=gofSkor Maksimum : 50II. Uraian1.a.(fog) (x) = f (g (x)) = f (3x) = 2 (3x) + 4 = 6x + 4((fog)oh) (x) = (fog) (h(x))= (fog) (x2+ 1)= 6 (x2+ 1) + 4= 6x2+ 6 + 4= 6x2+ 10Jadi, ((fog)oh) (x) = 6x2+ 10b.(goh) (x) = g (h (x)) = g (x2+ 1) = 3 (x2+ 1) = 3x2+ 3(fo(goh)) (x) = f ((goh) (x))= f (3x2+ 3)= 2 (3x2+ 3) + 4= 6x2+ 6 + 4= 6x2+ 10Jadi, (fo(goh)) (x) = 6x2+ 10552.()()xxxfog−=24()()xxxgf−=24()xxxf−=−241()()()1142+−+=xxxf()3742++=xxxf()5=af53742=++aa02742=−+aa()()0214=+−aa41=aatau 2−=aJadi, nilai ayang diminta adalah 2−. 11111111113.Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah 𝑚= (𝑥) = 𝑥2-3𝑥-2Untuk 𝑥= 4, diperoleh:𝑚= 𝑓(𝑥) = 𝑥2-3𝑥-2= 42-3.4 -2= 16 -12 -2 = 2Hasil produksi tahap I adalah 2 ton bahan kertas setengah jadi.Hasil produksi tahap II6
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23Rumus fungsi pada produksi tahap II adalah 𝑔(𝑚) = 4𝑚+ 2Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II,maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehinggadiperoleh:𝑔(𝑚) = 4𝑚+ 2= 4.2 + 2 = 10Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 10 ton kertas.Jadi banyaknya kertas yang dihasilkan adalah 10 ton.634.a)Persamaan bahan jadi adalah (gof)(x) = g(f(x) = (2x –3)2-(2x-3)g(f(x) = 4x2–12x + 9 -2x+ 3g(f(x))= 4x2-14x + 12b)Banyak bahan mentah yang digunakan 100 kg.(gof)(100)=4.1002–14.100 + 12 = 40.000 –1400 + 12= 38.612 Jadi banyaknya hasil produksi adalah: 38.61287Skor maksimum50Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24E.PenilaianDiriBerilah tandaVpada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami tentang komposisi fungsi2.Saya sudah dapat menentukan rumus komposisi fungsi3.Saya sudah memahami sifat-sifat komposisi fungsi4.Saya sudah memahami penerapan komposisi fungsi dalam kehidupan sehari-hari..
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25KEGIATAN PEMBELAJARAN 2FUNGSI INVERSA.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan peserta didik dapat :1.Memahami operasi invers pada fungsi invers2.Memahami sifat-sifat operasi invers pada fungsi invers3.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers pada suatu fungsi.B.Uraian MateriMasih ingatkah Kalian waktu kecil dulu orangtua Kalian atau guru TK mengajarkan bagaimana cara memakai sepatu atau melepas sepatu. Biasanya dimulai dengan mengambil sepatu dari rak sepatu, memasang kaos kaki, memasukkan kaki dan mengikat tali sepatu. Ketika belajar membuka sepatu, dimulai dengan membuka tali sepatu, mengeluarkan kaku, membuka kaos kaki dan meletakkan sepatu pada tempat penyimpanan sepatu. Proses memakai sepatu dan membuka sepatu tergambar pada diagram berikut:Gambar 2.1:Proses memasang dan membuka sepetu.Kegiatan memakai sepatu dan melepas sepatu tersebut merupakan kegiatanyang berkebalikan, dalam matematika sering dinamakan invers.Sekarang perhatikan contoh kontekstual yang terkait dengan invers fungsiberikut:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26Contoh 1:Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, dimana x banyak potong kain yang terjual.a.Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh?b.Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual?c.Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas.Penyelesaian:Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, untuk setiap x potong kain yang terjual.Penjualan 50 potong kain, maka x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah f(x) = 500x + 1000 untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000= 25.000 + 1.000= 26.000Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesarRp26.000,00Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka banyaknya kainyang harus terjual adalah f(x) = 500x + 1000100.000 = 500x + 1000500x = 100.000 –1.000500x = 99.000x=99.000500x = 198Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potongJika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, maka permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas digambarkan seperti berikut.Gambar 2.2: Fungsi Invers
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27f-1BerdasarkanGambar 2.2 di atas, maka dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.(a)Gambar 2.2 (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B, dapat ditulis f: A → B.(b)Gambar 2.2 (ii) menunjukkan bahwa f -1memetakan B ke A, dapat ditulis f -1: B→ A, dimana f -1merupakan fungsi invers f(c)Gambar 2.2 (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50, maka akandicari nilai f(x)(d)Gambar 2.2 (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar 2.2 (iii), yaitu mencari nilai x jika diketahui nilai f(x) = 100.000.Dari contoh di atas, dapat dikatakan bahwa untuk mencari nilai 𝑥adalah merupakan pembahasan invers suatu fungsi.Secaraumum invers dari suatu fungsi dapat dijelaskansebagai berikut.Misalkan 𝑓suatu fungsi dari 𝐴ke dalam 𝐵dan misalkan untuk suatu 𝑎∈𝐴petanya adalah (𝑎) = 𝑏∈ 𝐵, maka invers dari b (dinyatakan dengan 𝑓−1(𝑏)) adalah elemen-elemen dalam 𝐴yang memiliki 𝑏∈𝐵sebagai petanya.Secara singkat, jika 𝑓∶𝐴→B sedemikian hingga 𝑓∶𝑥→f (x)maka yang dimaksud denganinvers fungsi 𝑏adalah:𝑓−1(𝑏)={𝑥|𝑥∈𝐴,𝑓(𝑥)=𝑏}(Notasi f-1dibaca “finvers”)Contoh 2:Misalkan 𝑓: 𝐴→𝐵didefinisikan sebagaimana diagram panah berikut :fA B A B(i)(ii)Gambar 2.3Dari diagram (i):Dari diagram (ii):f(a) = zf-1(z) = af(b) = xf-1(x) = bf(c) = yf-1(y) = cJadi f : A→B adalah f={(a, z), (b, x), (c, y)} dan f-1: B→Aadalah f-1={(x, b), (y, c), (z, a)}.a.b.c.x.y.z.a.b.c.x.y.z.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28FungsiInversSetelah Kalian mempelajari contoh 1 dan 2, Kalian sudah mendapat gambaran tentang invers suatu fungsi. Sekarang kita kembangkan pemahaman Kalian dengan mempelajari fungsi invers. Apakah yang dimaksud dengan invers suatu fungsi sama dengan fungsi invers? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Kalian perhatikan contoh berikut.Fungsi f: A→𝐵dengan 𝑓={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐴dan𝑦∈𝐵}didefinisikan dengan y= f(x) = 2x.Jika daerah asal (domain) Df= {..., -2, -1, 0, 1, 2...}, maka daerah hasilnya (Range) adalah:f(-2) = 2.(-2)=-4, f(-1) = 2.(-1) = -2, f(0) = 2.0 = 0, f(1) = 2.1=2, f(2) = 2.2 = 4, sehingga Range Rf= {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}. Pasangan berurut dari fungsi fadalah f:{..., (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4),...}Inver dari fungsi fadalah f-1: B→A. Dari pasangan berurut fungsi fkita dapatkan daerah asal invers fungsi f, yaitu Df-1= {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Daerah hasi 𝑅𝑓−1={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Pasangan berurut invers fungsi fadalah f-1: {..., (-4, -2), (-2, -1), (0, 0), (2, 1), (4, 2),...} Coba Kalian amati pasangan berurut di atas, bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam domain fdikawankan dengan dua unsur yang berbeda di dalam daerah kawan (kodomain) f. Sebagai contoh, 𝑥1= -2 dan 𝑥2= 2 dikawankan berturut turut dengan 𝑦1= -4 dan 𝑦2= 4. Invers dari fungsi ini akan menghubungkandua unsur yang berbeda tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu -4 dengan -2 dan 4 dengan 2. Ini berarti relasi pada invers fungsi fmerupakan relasi satu-satu, setiap unsur di dalam daerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsurdi dalam daerah hasil. Invers dari fungsi fmemenuhi syarat sebagai sebuah fungsi, jadi f-1disebut fungsi invers.Sekarang Kalian amati fungsi g: C→D dengan 𝑔={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑔(𝑥),𝑥∈𝐶dan𝑦∈𝐷}didefinisikan dengan y= g(x) = x2.Jika daerah asal (domain) Df= {..., -2, -1, 0, 1, 2...}, maka daerah hasilnya (Range) adalah:𝑔(−2)=(−2)2=4,𝑔(−1)=(−1)2=1,𝑔(0)=02=0,𝑔(1)=12=1,𝑔(2)=22=4Pasangan berurut fungsi g={...(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)...}.Pasangan berurut invers dari fungsi gadalah g-1={...,(4, -2), (1, -1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)}.Kalau Kalian mengamati, Kalian bisa melihat bahwa ada unsur x di dalam domain g dikawankan dengan unsur y yang sama di dalam daerah kawan g. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, invers dari fungsi ini menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2 dan –2. g(-2) = 4,g(2) = 4 dan g-1(4) = -2, g-1(4) = 2. Invers dari fungsi ini tidak sesuai dengan aturan fungsi. Jadi, invers dari fungsi g(x) = x2bukan merupakan fungsi, tetapi hanya relasi saja. g-1disebut invers dari fungsi g.Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa invers atau kebalikan dari fungsi, tidak selalu menghasilkan fungsi. Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi juga, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers. Syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi invers jika dan hanya jika f suatu fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Sifat 1:DariSifat1 di atas, pada fungsi bijektif f: A → B, A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f. Secara umum, definisi fungsi invers diberikan sebagai berikut :Definisi: Fungsi f: Df→Rfadalah fungsi bijektif, jika y∈Rfmerupakan peta dari x∈Df, maka hubungan antara y dengan f(x) didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x∈Rf-1adalah peta dari y∈Df-1. Hubungan antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan rumus x = f -1(y)Menentukan Rumus Fungsi Invers.Setelah memahami fungsi invers, pembahasan kita kembangkan dengan menentukan rumus fungsi invers. Coba Kalian amati masalah berikut:Contoh 3:Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besarnya dana yang diperoleh bergantung kepada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 500x + 20.000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan.a)Tentukanlah fungsi invers pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola tersebut.b)Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00, berapa penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut?Suatu fungsi f : A → B dikatakan memiliki fungsi invers f -1: B → A jika danhanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif.Jika fungsi f: Df→Rfadalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f -1: Rf→Dfdengan kata lain f-1adalah fungsi dari Rfke Df.Dfadalah daerah asal fungsi f dan Rf adalah daerah hasil fungsi f
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30Penyelesaian:Diketahui fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 500x + 20.000.(a)Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bolaUntuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dapat dihitung sebagai berikut.y = f(x) = 500x + 20.000y= 500x + 20.000500x = y –20.000𝑥=𝑦−20.000500Karena x = f -1(y), maka f -1(y) = 𝑦−20.000500Karena f -1(y) = 𝑦−20.000500,maka f-1(x) = 𝑥−20.000500Jadi, fungsi invers dari f(x) = 500x + 20.000 adalahf-1(x) = 𝑥−20.000500atau 𝑓−1=1500(𝑥−20.000)(b)Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00, makabanyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalahf-1(x) = 𝑥−20.000500𝑓−1(5.000.000)=5.000.000−20.000500=4.980.000500=9.960.Berdasarkan alternatif penyelesaian Contoh 3 di atas, diperoleh sifatsebagai berikut.Sifat2:Untuk menentukan rumus fungsi invers dari fungsi 𝑓dapat dilakukan langkahlangkah:1.memisalkan 𝑓(𝑥) = 𝑦,2.menyatakan 𝑥dalam 𝑦,3.menentukan rumus dari 𝑓-1(𝑥) dengan mengingat 𝑓-1(𝑦) = 𝑥dan mengganti variabel 𝑦dengan 𝑥.Contoh 4:Diketahui f: R →R dengan f(x) = 2x -5. Tentukan f -1(x)!Penyelsaian:Karena y = f(x)m maka y = 2x -5y = 2x -5 (yang berarti x = f -1(y))2x = y + 5Misalkan f -1adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x∈Dfdan y∈Rf,maka berlaku y = f(x) jika dan hanya jika f -1(y) = x
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31x =y+52f -1(x) = x+52Contoh 5:Diketahui f(x)=2𝑥+1𝑥−4Tentukan 𝑓−1(𝑥)!Penyelesaian:Karena y = f(x), maka y = 2𝑥+1𝑥−4𝑦(𝑥−4)=2𝑥+1𝑦𝑥−4𝑦=2𝑥+1𝑦𝑥−2𝑥=4𝑦+1𝑥(𝑦−2)=2𝑦+1𝑥=4𝑦+1𝑦−2𝑓−1(𝑥)=4𝑥+1𝑥−2Contoh 6:Jika ()34,,432−=xRxxxxfdan 1)(1=−kf. Tentukan nilai k!Penyelesaian:Misalkanf(x) = y,432−=xxyy(3x -4) = 2x3xy –4y = 2x3xy –2x = 4yx(3y –2) = 4yx= 234y-yf -1(x)= 234x-xf -1(k) = 234k-k1 = 234k-k3k –2 = 4kk = -2
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32Contoh7:Suatu fungsi 𝑓pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi(𝑥) = 𝑥−42𝑥+3Tentukan domain dan kodomain 𝑓agar diperoleh fungsi invers 𝑓-1Penyelesaian:Dengan memperhatikan rumus fungsi 𝑓yang berupa fungsi pecah, maka domain dari fungsi 𝑓adalah: 𝐷𝑓= {𝑥| 2𝑥+ 3 ≠ 0, 𝑥𝑅}= {𝑥|𝑥≠−32,𝑥∈𝑅}Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnya,Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑦𝑦=𝑥−42𝑥+3↔𝑥−42𝑥+3=𝑦↔𝑥−4=𝑦(2𝑥+3)↔𝑥−4=2𝑦𝑥+3𝑦↔𝑥−2𝑦𝑥=3𝑦+4↔𝑥(1−2𝑦)=3𝑦+4↔𝑥=3𝑦+41−2𝑦→𝑓−1(𝑦)=3𝑦+41−2𝑦→𝑓−1(𝑥)=3𝑥+41−2𝑥Syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers apabila fungsi tersebut adalahbijektif, maka kodomain dari fungsi 𝑓adalah domain dari 𝑓-1, sehingga kodomain dari 𝑓adalah𝐷𝑓−1={𝑥|1−2𝑥≠0,𝑥∈𝑅}={𝑥|𝑥≠12,𝑥∈𝑅}
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33Invers dari Fungsi KomposisiSetelah Kalian mempelajari fungsi komposisi dan fungsi invers dari suatu fungsi, pada pembahasan ini Kalian akan mempelajari mengenai fungsi invers dari fungsi komposisi. Untuk mempelajari lebih lanjut, perhatikan diagram panah berikut ini.Gambar 2.4Dari diagram di atas, dapat terlihat bahwa fungsi komposisi (gof) memetakana ke c. Sedangkan fungsi invers dari gof, yaitu (gof)–1memetakan c ke a, atau dapat dinyatakan dengan (gof)–1(c) = a.Dalam hal ini, g–1memetakan c ke b dan f –1memetakan b ke a, seperti terlihat pada diagram berikut ini.Gambar 2.5Sehingga diperoleh f –1(g–1) = f –1(b) = a dengan f –1(g–1(x)) = (f –1o g–1)(c). Untuk sembarang nilai x, secara umum dapat dikatakan bahwa:Kalian dapat menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi dengan dua cara yaitu:a.Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukaninversnyab.Menentukan dulu inversnya masing−masing fungsi, kemudiandikomposisikan.(𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=(𝑓−1𝑜𝑔−1)(𝑥)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34Contoh 8:Diketahui f =x −7 dan g =4x + 1, tentukan (f g) −1(x) dengan dua cara di atasPenyelesaian:a.Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya(f g)(x) =f(g(x)) =f(4x + 1) =4x + 1 −7 =4x −6Misalkan y =4x −6.4x =y + 6x=y+64Jadi (fog)-1(x) = 𝑥+64b.Menentukan dulu inversnya masing−masing fungsi, kemudiandikomposisikanf (x) =x −7 →misalkan y =x −7x =y + 7 sehingga f −1(x) =x + 7.g(x) =4x + 1 →misalkan y =4x + 14x =y −1𝑥=𝑦−14sehingga 𝑔−1(𝑥)=𝑥−14(f g) −1(x) =(g −1f −1)(x)=g −1(f−1(x))=g −1(x + 7)=(𝑥+7)−14=𝑥+64Jadi (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)=𝑥+64Contoh 9:Diketahui fungsi f(x) = 2x –3 dan g(x) = 31,131−+xx. Tentukan (f o g) -1(x)!Penyelesaian:(f o g)(x) = 2(1x31+) –3 = 1x31x91x3)1x3(32+−−=++−Misalkan y = (f o g)(x) y = 1x31x9+−−y (3x+1) = -9x –13xy + y = -9x –13xy + 9x = -y –1x (3y + 9) = -(y + 1)x = 9y3)1y(++−(f o g) -1(x) = 9x31x++−
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35Contoh 10:Ditentukan f(x) = 2x –1, g(x) = 3 –x dan h(x) = 0,4xx, carilah nilai x sehingga (ℎ𝑜𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=1!Penyelesaian:(𝑔𝑜𝑓)(𝑥)= 3 –(2x –1) = 4 –2x(ℎ𝑜(𝑔𝑜𝑓))(𝑥)= x244−Misalkan (ℎ𝑜(𝑔𝑜𝑓))(𝑥)= y, maka:y = x244−4y –2xy = 4-2xy = 4 –4yx = yyyy22244−=−−(ℎ𝑜(𝑔𝑜𝑓))−1(𝑥)(x) = xx22−xx22−= 12x –2 = xx = 2Contoh 11:Ditentukan 𝑓(𝑥)=2𝑥3−𝑥, dengan 𝑥≠3. Tentukan:a.𝑓−1(𝑥)b.(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥)dan (𝑓−1𝑜𝑓)(𝑥)Penyelesaian:a.𝑓(𝑥)=2𝑥3−𝑥, misal y = f(x)𝑦=2𝑥3−𝑥↔𝑦(3−𝑥)=2𝑥↔3𝑦−𝑦𝑥=2𝑥↔3𝑦=𝑦𝑥+2𝑥=x(y + 2)↔𝑥(𝑦+2)=3𝑦↔𝑥=3𝑦𝑦+2Jadi 𝑓−1(𝑥)=3𝑥𝑥+2b.(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥)=2(3𝑥𝑥+2)3−3𝑥𝑥+2=6𝑥𝑥+23(𝑥+2)(𝑥+2)−3𝑥𝑥+2=6𝑥𝑥+23𝑥+6−3𝑥𝑥+2=6𝑥𝑥+26𝑥+2=6𝑥6=𝑥(𝑓−1𝑜𝑓)(𝑥)=32𝑥3−𝑥2𝑥3−𝑥+2=6𝑥3−𝑥2𝑥3−𝑥+2(3−𝑥)3−𝑥=6𝑥3−𝑥63−𝑥=6𝑥6=𝑥
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36Pada pembahasan sebelumnya I(x) = x di sebut fungsi identitas.Dari contoh di atas f –1fungsi invers dari f berlaku(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥)=(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥)=𝐼(𝑥)Menetukan Rumus Invers Fungsi Kuadrat.Coba Kalian simak masalah berikut.Diketahui f(x) = ax2+ bx + c. Tentukan f-1(x)!Penyelesaiaan:Misal f(x) = yy = ax2+ bx + c ↔ax2+ bx = y –c (kedua ruas datambah (-c))↔𝑥2+𝑏𝑎𝑥=𝑦−𝑐𝑎(Kedua rua dikali 1𝑎)↔𝑥2+𝑏𝑎𝑥+(𝑏2𝑎)2=𝑦−𝑐𝑎+(𝑏2𝑎)2(kedua ruas ditambah (𝑏2𝑎)2agar ruas kiri bisa membentuk kuadrat sempurna)↔(𝑥+𝑏2𝑎)2=𝑦−𝑐𝑎+(𝑏2𝑎)2↔(𝑥+𝑏2𝑎)2=𝑦−𝑐𝑎+𝑏24𝑎↔(𝑥+𝑏2𝑎)2=4𝑎(𝑦−𝑐)4𝑎2+𝑏24𝑎2↔(𝑥+𝑏2𝑎)2=4𝑎𝑦−4𝑎𝑐+𝑏24𝑎2↔(𝑥+𝑏2𝑎)2=4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎2↔(𝑥+𝑏2𝑎)=±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎2↔(𝑥+𝑏2𝑎)=±12𝑎√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐↔𝑥=−𝑏2𝑎±12𝑎√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐↔𝑥=−𝑏±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎Jadi 𝑓−1(𝑥)=𝑥=−𝑏±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎Catatan:𝑓−1(𝑥)=𝑥=−𝑏±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎akan menjadi fungsiinvers jika dibatasi 𝑥≥−−𝑏2𝑎
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37Rumus Umum Invers Fungsi dalam Bentuk Akar.Contoh 12:Tentukan invers dari 𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥+𝑏𝑛Penyelesaian :Misal 𝑓(𝑥) = 𝑦maka dapat dijabarkan 𝑦=√𝑎𝑥+𝑏𝑛↔𝑦=√𝑎𝑥+𝑏𝑛=(𝑎𝑥+𝑏)1𝑛↔𝑦𝑛=𝑎𝑥+𝑏(Kedua ruas dipangkatkan dengan n)↔𝑎𝑥=𝑦𝑛−𝑏(Kedua ruas ditambah dengan –b)↔𝑥=𝑦𝑛−𝑏𝑎↔𝑓−1(𝑦)=𝑦𝑛−𝑏𝑎↔𝑓−1(𝑥)=𝑥𝑛−𝑏𝑎Jadi jika 𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥+𝑏𝑛, maka𝑓−1(𝑥)=𝑥𝑛−𝑏𝑎C.Rangkuman1.Pengertian Fungsi Invers:Jika fungsi f : A →B yang mempunyai peta f (a) = b maka invers f adalah fungsi g : B →A dengan peta g(b) = a.2.Teorema fungsi invers:Bila f : A →B adalah fungsi bijektif maka invers fungsi f yaitu f–1: B → A juga merupakan fungsi bijektif3.Fungsi Invers dari Fungsi Komposisio(gof)–1(x) = (f –1o g–1) (x)o(hogof)–1(x) = (f–1o g–1o h–1) (x)4.Jikaf(x) = ax2+ bx + c, maka 𝑓−1(𝑥)=𝑥=−𝑏±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎akan menjadi fungsi invers jika dibatasi 𝑥≥−−𝑏2𝑎5.Jika𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥+𝑏𝑛, maka𝑓−1(𝑥)=𝑥𝑛−𝑏𝑎D.Latihan Soal Untuk meningkatkan pemahaman, coba Kalian kerjakan latihan soal berikut, kemudiancocokkan jawaban Kalian dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Jangan melihat kunci dulu sebelum Kalian mengerjakan.1.Diketahui 𝑓(𝑥) = 5𝑥−3𝑥+2, 𝑥≠ -2 dan 𝑔(𝑥) = 6𝑥–2, tentukan:a.𝑓−1(𝑥)dan𝑔−1(𝑥)b.(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)dan𝑔−1(𝑥)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN382.Diketahui (𝑥) = 3𝑥+ 2 dan (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 6𝑥-4 . Tentukana.𝑔−1(𝑥)b.Nilai𝑔−1(2)3.Diketahui f(x) = 4x2–16x + 25, 𝑥∈𝑅. Tentukan:a.𝑓−1(𝑥)b.Syarat agar 𝑓−1(𝑥)menjadi fungsi invers.4.Tentukan invers dari:a.𝑓(𝑥)=√𝑥+6b.√2𝑥−535.Jumlah produksi makanan ringan dari suatu pabrik per hari mengikuti fungsi f(x) = x2 + 300 dengan x adalah banyaknya bahan baku yang diperlukan (dalam kg)a.Tentukan banyaknya makanan ringan yang dapat dihasilkan dari bahan bakusebanyak 50kg.b.Tentukan banyaknya bahan baku yang dibutuhkan untuk menghasilkan makanan ringan sebanyak 10.300 buah
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39Pembahasan Latihan Soal NOPEMBAHASANSkor1𝑓(𝑥) = 5𝑥−3𝑥+2, 𝑥≠ -2 dan 𝑔(𝑥) = 6𝑥–2a.Misal f(x) = y→y= 5𝑥−3𝑥+2y= 5𝑥−3𝑥+2↔y(x + 2) = 5x –3↔yx + 2y = 5x –3↔yx –5x = -2y -3↔5x -yx = 2y + 3 (Kedua ruas dikali (-1)↔x(5 -y) = 2y + 3↔𝑥=2𝑦+35−𝑦↔𝑓−1(𝑦)=2𝑦+35−𝑦↔𝑓−1(𝑥)=2𝑥+35−𝑥Jadi 𝑓−1(𝑥)=2𝑥+35−𝑥Misal g(x) = y →y = 6x –2y = 6x –2 ↔6x = y + 2↔𝑥=𝑦+26↔𝑔−1(𝑦)=𝑦+26↔𝑔−1(𝑥)=𝑥+26Jadi 𝑔−1(𝑥)=𝑥+26𝑏.(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)dan(𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)Cara 1.(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)=(𝑔−1𝑜𝑓−1)(𝑥)=2𝑥+35−𝑥+26=2𝑥+35−𝑥+2(5−𝑥)5−𝑥6=2𝑥+3+10−2𝑥5−𝑥6=136(5−𝑥)=1330−6𝑥=-136𝑥−30Jadi (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)=-136𝑥−30(𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=(𝑓−1𝑜𝑔−1)(𝑥)=2(𝑥+26)+35−𝑥+26=2𝑥+46+3.665.66−𝑥+26=2𝑥+4+18630−(𝑥+2)6=2𝑥+22630−𝑥−26=2𝑥+22628−𝑥6=2𝑥+2228−𝑥Jadi (𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=2𝑥+2228−𝑥5555
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40Cara 2.(fog)(x) = f(g(x)) =5(6𝑥−2)−3(6𝑥−2)+2=30𝑥−136𝑥Misal f(x) = y𝑦=30𝑥−136𝑥↔6𝑥.𝑦=30𝑥−13↔6𝑥𝑦−30𝑥=−13↔𝑥(6𝑦−30)=−13↔𝑥=−136𝑦−30↔(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑦)=−136𝑦−30↔(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)=−136𝑥−30= -136𝑥−30Jadi(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)=-136𝑥−30(gof)(x) = 65𝑥−3𝑥+2−2=30𝑥−18𝑥+2−2(𝑥+2𝑥+2)=30𝑥−18𝑥+2−2𝑥+4𝑥+2=30𝑥−18−2𝑥−4𝑥+2=28𝑥−22𝑥+2Misal (gof)(x) = y𝑦=28𝑥−22𝑥+2↔𝑦(𝑥+2)=28𝑥−22↔𝑦𝑥+2𝑦=28𝑥−22↔𝑦𝑥−28𝑥=−2𝑦−22↔𝑥(𝑦−28)=−(2𝑦+22)↔𝑥=−(2𝑦+22)𝑦−28=2𝑦+2228−𝑦↔(𝑔𝑜𝑓)−1(𝑦)=2𝑦+2228−𝑦↔(𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=2𝑥+2228−𝑥Jadi (𝑔𝑜𝑓)−1(𝑥)=2𝑥+2228−𝑥2𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2 dan (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 6𝑥–4(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) =𝑔(𝑓(𝑥))=6𝑥–4𝑔(3𝑥+2)=6𝑥−4𝑔(3𝑥+2)=2(3𝑥+2)−8𝑔(𝑥)=2𝑥−8a.Misal g(x) = yy = 2x –8 ↔𝑦+8=2𝑥↔2𝑥=𝑦+8↔𝑥=𝑦+82↔𝑔−1(𝑦)=𝑦+82𝑔−1(𝑥)=𝑥+82b.𝑔−1(2)=2+82=102=5884
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN413.f(x) = 4x2–16x + 25=4(x2–4x) + 25 = 4(x2–4x + 4 -4) + 25 (ditambahkan 0 = 4 –4)= 4(x2–4x + 4) –16 + 25 ( 4 x (-4) di keluarkan agar di dalam kurung berbentuk kuadrat sempurna)= 4(x2–4x + 4) + 9a.Misal f(x) = y →y = 4(x2–4x + 4) + 9 = 4(x –2)2+ 9↔y –9 = (x –2)2↔(x –2)2= y –9↔x –2 = ±√𝑦−9↔x =3 ±√𝑦−9↔f-1(y)=3 ±√𝑦−9↔f-1(x)=3 ±√𝑥−9Jadi: f-1(x)=3 ±√𝑥−9b.Agar f-1(x)=3 ±√𝑥−9menjadi fungsi invers maka daerah asal harus dibasi 𝑥−9≥0→𝑥≥961044a.𝑓(𝑥)=√𝑥+6Menggunakan rumus 𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥+𝑏𝑛, →𝑓−1(𝑥)=𝑥𝑛−𝑏𝑎𝑓−1(𝑥)=𝑥𝑛−𝑏𝑎=𝑥2−61=𝑥2−6b.𝑓(𝑥)=√2𝑥−53=𝑥𝑛−𝑏𝑎=𝑥3−(−5)2=𝑥3+52=12(𝑥3+5)10105Jumlah produksi makanan ringan dari suatu pabrik per hari mengikuti fungsi f(x) = x2+ 300a.Jumlah produksi yang dihasilkan jika banyak bahan baku 50 kg.f(50) = (50)2+ 300 = 2.500 + 300 = 2.800.Jadi jumlah produksi yang dihasilkan dengan bahan baku sebanyak 50 kg adalah 2.800 buah.b.Banyaknya bahan baku yang dibutuhkan untuk memproduksi sebanyak 10.300 buah adalah:f(x) = x2+ 300f(x) = 10.300x2+ 300 = 10.300x2= 10.000x = ±√10.000=±100Jadi banyak bahan baku yang diburuhkan untuk 646
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42memproduksi makanan kecil sejumlah 10.300 adalah 100 kg.4Skor maksimum100Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka Kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. E.PenilaianDiriBerilahtanda Vpada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami tentang invers dari sebuah fungsi2.Saya sudah dapat menentukan rumus invers dari sebuah fungsi3.Saya sudah memahami invers yang merupakan fungsi invers4.Saya sudah rumus invers komposisi fungsi..
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43EVALUASI1.Diketahui RRf→:, RRg→:dirumuskan oleh ()42−=xxfdan ()62−=xxg. Jika ()()4o−=xgf, nilai ....=xA. −6B. −3 C. 3D. 3 atau −3 E. 6 atau −62.Jika 3)(+=xxgdan 4))(o(2−=xxgf, maka ....)2(=−xfA.562+−xxC. 21102+−xxE. 21102++xxB.562++xxD. 21102−−xx3.Diketahui 4;432)og)((−+−=xxxxfdan xxg−=1)(, maka ....)(=xfA.4;41−+−xxxC. 4;47−+−xxxE. 4;413−++xxxB.5;512−+xxxD. 5;512−+−xxx4.Dari fungsi f dan g diketahui ()5322−+=xxxfdan ()23−=xxg. Supaya ()()11−=agof, nilai ayang positif adalah ...A. 212B. 611C. 1D. 21E. 615.Fungsi f: R→Rdan g: R→Rdinyatakan oleh f(x) =x+ 2 dan (go f) (x) = 2x2+ 4x+ 1, maka g(2x) = ..... A.2x2 −4x+ 1 C. 8x2 −8x+ 1 E. 4x2 −8x + 1 B.2x2 −12x+ 1 D. 8x2 + 8x+ 16.Diketahui ()12+=xxfdan ()32−=xxg, maka ()()....=xfogA. 101242+−xxC. 101242−−xxE. 101242++−xxB. 101242++xxD. 101242−+xx7.Jika ()432−−=xxxfdan ()32+=xxg, dan RRf→:, RRg→:, maka ()()xfogadalah ....A. 4642−+xxC. 5622−−xxE. 5942++xxB. 4642−−xxD. 5622−+xx8.Diketahui fungsi-fungsi ()xxf2=, ()12−=xxg, ()xxh2=, maka ....A. ()()122−=xxfogC. ()()xxfoh4=E. ()()122−=xxhogB. ()()142−=xxgofD. ()()xxhof24=9.Diketahui fungsi 𝑓: 𝑅→R dan 𝑔: 𝑅→R didefinisikan dengan (𝑥) = -𝑥+ 3dan (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 4𝑥2-26𝑥+ 32 maka nilai 𝑓(1) adalah ... .A. –5B. -4C. -3D. 3E. 4
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4410.Suatu penggilingan padi dapat memproduksi beras super melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkan beras setengah jadi berupa pelepasan kulit padi. Tahap kedua dengan menggunakan mesin II yangmenghasilkan berassuper. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi (𝑥) = 𝑥-0,175 dan mesin II mengikuti fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥-0,125 dengan 𝑥merupakan banyak bahan dasar padi dalam satuan kg. Jika bahan dasar padi yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 5 ton, berapakah beras super yang dihasilkan dalam kwintal?A.4999,825 kgC. 5000 kgE. 79,997 kwintalB.4999,7 kgD. 49,998 kwintal11.Invers dari fungsi ()58;8523−+−=xxxxfadalah ()....1=−xfA.3528−+−xxC. xx5328+−E. xx5328−+−B.3528+−xxD. xx5328−+12.Diketahui 312)(−+=xxxf, x3. Jika f −1adalahinvers fungsi f, maka f −1(x–2) = ....A. 21−+xx, x2C. 122+−xx, x−1 E. 31−+xx, x3 B. 532−−xx, x5D. 453−−xx, x4 13.Fungsi RRf→:dan RRg→:ditentukan oleh ()23−=xxfdan ()5+=xxg. Rumus untuk ()()xgof1−adalah ....A. 3x+ 1 C. 131−xE. 331−xB. 3x–1 D. 131+x14.Diketahui ()4+=xxfdan ()xxg2=, maka ()()....1=−xfogA. 82+xC. 821−xE. 221−xB. 42+xD. 421−x15.Fungsi RRf→:didefinisikan sebagai 21,1243)(−+=xxxxf. Invers dari fungsi fadalah )(1xf−. Nilai dari ....)1(1=−−fA.−3 B. 53−C. 7 D. 35−E. 316.Fungsi RRf→:dan RRg→:ditentukan dengan 0,)(1=−xxxfdan ()()3,0,23−=xxxxxgf, maka ()....1=−xg
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN45A. xx23−C. 32−xxE. 123−xB. 23−xxD. 23+xx17.Jika fungsi RRf→:dan RRg→:ditentukan ()3xxf=dan ()43−=xxg, maka ()()....811=−−ofgA.1 B. 2 C. 313D. 324E. 31518.Fungsi berikut yang tidak memiliki fungsi invers adalah ....A.y = x +1 B.y = x3C.y = log xD.y = x2+ 1000E.y = 1 –100 x19.Diketahui f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x, dan h(x) = 2x. Bila (f o g o h)–1(x) = –1, maka nilaix adalah .....A. 5 B. 3 C. 2 D. –3 E. –520.Dikatahui𝒇(𝒙)== 2,251−+−xxxdan 𝒇−𝟏(𝒙)adalah invers dari 𝒇(𝒙). Nilai 𝒇−𝟏( –3 ) = ...A. 34B. 2C. 25D. 3E. 27
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN46Kunci Jawaban Evaluasi.No.kunciUraianSkor1C()()4o−=xgf()()4−=xgf()462−=−xf()44622−=−−x()0622=−x062=−x3=xJadi, nilai 3=x. 12C4))(o(2−=xxgf4))((2−=xxgf4)3(2−=+xxf136)3()3(2−−+=+xxxf5)3(6)3()3(2++−+=+xxxf56)(2+−=xxxf5)2(6)2()2(2+−−−=−xxxf5126442++−+−=xxx21102+−=xx13B432)og)((+−=xxxf432))((+−=xxxgf413)1(2)1(+−−−=−xxxf512+−−−=xx5;512−+=xxx14D(g o f)(a) = –11g(f (a)) = –11g (2a2 + 3a–5) = –113 (2a2+ 3a–5) –2 = –116a2 + 9a–15 –2 = –112a2 + 3a–2 = 0(2a–1) (a+ 2) = 021=aatau a= –2 Jadi, nilai ayang positif adalah 21. 15C(go f)(x) = 2x2+ 4x+ 1g(f(x)) = 2 x2+ 4 x+ 1 g (x+ 2) = 2 x2+ 4 x+ 1 1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47= 2 (x+ 2 )2–4 x−7 = 2 (x+ 2)2–4 (x+ 2) + 1 g (2x) = 2 (2x)2–4 (2x) + 1 = 8 x 2–8x+ 1 Alternatif 2:(go f)(x) = 2x2+ 4x+ 1g(x+ 2) = 2x2+ 4x + 1Misalnya x+ 2 = y, maka x= y–2 , sehingga g(y) = 2 (y –2)2+ 4 (y–2 ) + 1 = 2 y 2–4y+ 1 g(2x) = 2 (2x)2–4 (2x) + 1 = 8x2−8x+ 1 6A()()()()xgfxfog=()32−=xf()1322+−=x101242+−=xx17A()()()()xgfxfog=()32+=xf()()4323322−+−+=xx4642−+=xx18BA. ()()()()xgfxfog=()12−=xf()122−=x222−=x.B. ()()()()xfgxgof=()xg2=()122−=x142−=x.C.()()()()xhfxfoh=()xf2=x22=12+=x.D.()()()()xfhxhof=()xh2=x22=x4=.E.()()()()xghxhog=()12−=xh122−=x,Jadi, pernyatan yang benar adalah B. 9E( 𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 4𝑥2-26𝑥+ 32𝑓(-𝑥+ 3) = 4𝑥2-26𝑥+ 32= 4(-𝑥+ 3 )2+ 2(-𝑥+ 3) -2Dari bentuk persamaan 𝑓(-𝑥+ 3) = 4(-𝑥+ 3 )2+ 2(-𝑥+ 3) -2 ini berarti𝑓(𝑥) = 4𝑥2+ 2𝑥-2 mengakibatkan 𝑓(1) = 4.12+ 2.1 -2 = 4Jadi (𝑓)(1) = 4110.E•Fungsi tahap I adalah (𝑥) = 𝑥-0,175.Untuk 𝑥= 5000, diperoleh:𝑓(𝑥) = 𝑥-0,175= 5000 -0,175= 4999,8251
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48Hasil produksi tahap I adalah 4999,825 kg beras setengah jadi•Fungsi tahap I adalah (𝑥) = 𝑥-0,175.Untuk 𝑥= 4999,825, diperoleh:𝑔(𝑥) = 𝑥-0,125= 4999,825 -0,125= 4999,7Hasil produksi tahap II adalah 4999,7 kg beras super.Jadi beras super yang dihasilkan adalah 49,997 kwintal11D()8523+−=xxxf8523+−=yyx2385−=+yxxy2835−−=−xyxy()2835−−=−xyx3528−−−=xxyxxy5328−+=Jadi, ()xxxf53281−+=−112D312)(−+=xxxf312−+=yyxxy−3x= 2y+ 1(x−2) y = 3x+ 1213−+=xxy213)(1−+=−xxxf4532)2(1)2(3)2(1−−=−−+−=−−xxxxxf1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4913C()()()()xfgxgof=()23−=xg523+−=x33+=x33+=yx33−=xy()()1311−=−xxgof114E()()()()xgfxfog=()xf2=42+=x42+=yx221−=xy()()2211−=−xxfog115B1243)(−+=xxxf1243−+=yyx432+=−yxxy()432+=−xyx324−+=xxy]()3241−+=−xxxf()()533124111−=−−+−=−−f116.C()()xxxgf23−=()xxxg231−=()32−=xxxg117B()3xxf=3yx=3xy=1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN50()31xxf=−()43−=xxg43−=yx()431+=xy()()4311+=−xxg()()()()881111−−−−=fgofg()318−=g()21−=g()24231=+=18DA.y = x +1→y-1= f-1(x) =x –1Untuk 𝑥1≠𝑥2→𝑓−1(𝑥1)≠𝑓−1(𝑥2)Jadi y-1= x -1 merupakan fungsi.B.y = x3→𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=√𝑥3Untuk 𝑥1≠𝑥2→𝑓−1(𝑥1)≠𝑓−1(𝑥2)Jadi 𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=√𝑥3merupakan fungsiC.y = log x→𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=10𝑥Untuk 𝑥1≠𝑥2↔𝑓−1(𝑥1)≠𝑓−1(𝑥2)Jadi 𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=10𝑥merupakan fungsiD.y = x2+ 1000→𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=±√𝑥−100Untuk 𝑥1≠𝑥2ada𝑓−1(𝑥1)=𝑓−1(𝑥2)Jadi 𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=±√𝑥−100bukan fungsiE.y = 1 –100 x→𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=1−𝑥100Untuk 𝑥1≠𝑥2↔𝑓−1(𝑥1)≠𝑓−1(𝑥2)Jadi 𝑦−1=𝑓−1(𝑥)=1−𝑥100merupakan fungsi119Af(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x, dan h(x) = 2x.(fogoh)(x) =f(g(h(x))) =f(2 + 2x)= 3 + 2(2 + 2x)= 7 + 2xMisal : (fogoh)(x) = y1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN51y = 7 + 2x →y –7 = 2x2x = y –7 →x=y−72(fogoh)-1(x) = 𝑥−72(fogoh)-1(x) = -1 ↔𝑥−72=−1↔x –7 = -2↔x = 520EDikatahui𝒇(𝒙)=2,251−+−xxx()dcxbaxxf++=→()acxbdxxf−+−=−1𝒇−𝟏(𝒙)=−𝟐𝒙+𝟏𝒙+𝟓Nilai 𝒇−𝟏( –3 ) = −𝟐(−𝟑)+𝟏(−𝟑)+𝟓=𝟕𝟐1Skor Maksimum20Nilai: 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.6@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN52DAFTAR PUSTAKAKemdikbud. 2017. Matematika Kelas X. Jakarta : Puskurbuk.Kemdikbud. 2019. Paket Unit Pembelajaran Matematika Aljabar 2. Jakarta. DirjenGuru dan Tenaga Kependidikan. Kementerian Pendidikan Nasional.Lestari, Sri. 2009. Matematika 2. Jakarta: pusat Perbukuan. Depatemen Pendidikan NasionalMarkaban. 2004. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan. Yogyakarta. PPPG Matematika.